Circula na internet um meme relacionado ao torneio de artes marciais realizado pelo Cell (antagonista da 3a saga de Dragon Ball Z). Na parte de cima dos quadros que compõe o meme, vemos Cell levitando um enorme paralelepípedo de pedra e cortando-o em placas (4x4x7).

Na parte de baixo do meme, mostra a arena do torneio montada com 10×10 placas. O meme ironiza para onde foram 12 das placas, já que 4x4x7 = 112, enquanto 10×10 = 100.

Adianto que atualmente não gosto da saga do Cell, embora quando criança/adolescente achava ela muito dahora… enfim, não vou entrar em detalhes.

Esse meme levanta uma questão bem interessante. Seria possível cortar um paralelepípedo formando uma quantidade de placas iguais e suficientes para montar uma arena com a mesma quantidade de placas na horizontal e na vertical? (detalhe, não sei a resposta, estou escrevendo o post enquanto penso no tema)

Existe sim (acabei de perceber uma solução bem simples)! Podemos não cortar o paralelepípedo, e assim temos uma arena com 1×1. Ok, essa é a solução trivial do problema, e ela não nos interessa… então, vamos procurar soluções não triviais. Para isso reescreveremos o problema de um jeito mais fácil de tratá-lo algebricamente:

A quantidade de peças do paralelepípedo é dada pelo produto do total de cortes em cada eixo ortogonal do plano tridimensional. Assim, para A, B e C cortes, temos (A + 1)*(B + 1)*(C + 1) placas, podemos simplificar isto considerando que D, E e F equivalem respectivamente a (A + 1), (B + 1) e (C + 1), sendo D, E e F números Naturais. Assim, queremos encontrar 3 números Naturais tais que D*E*F sejam iguais a um número Natural G elevado ao quadrado. Ou seja:

D*E*F = G², para D, E, F, G ∈ ℕ, D, E, F, G > 1.

Simplificando nossa expressão, temos que:

√(D*E*F) ∈ ℕ

Agora se representarmos a raiz-quadrada como uma potência, temos:

(D*E*F)^(1/2) ∈ ℕ

Ou seja,

(D^1/2)*(E^1/2)*(F^1/2) ∈ ℕ

Assim, temos uma quantidade infinita de soluções, desde que pelo menos um dos três valores (D, E, F) for um quadrado perfeito. Assim, basta que o produto dos outros dois termos também seja um quadrado perfeito.

Por exemplo:

• Se D = 4, e E*F = 9, temos que D*E*F = 36.
• Se D = 9, e E*F = 16, temos que D*E*F = 324.

Mas pelo que podemos notar, é impossível criarmos uma arena 10×10 assim, uma vez que precisaríamos escrever 10×10 como o produto de dois quadrados perfeitos. Ou seja, qualquer arena pode ser criada, desde que ela tenha dimensões dadas por G²*H², assumindo é claro que G e H sejam maiores do que 1.

Assim, podemos restringir o tamanho das arenas com menos de 100 placas a apenas 4 casos:

• 4*4 = 16
• 4*9 = 36
• 4*16 = 64
• 9*9 = 81

Achei divertidinho escrever este post (a princípio pensei que nem teria solução, mas acabei me surpreendendo :3 )